原创变动的抛物线在变动区间上的最值问题，2022广州中考数学真题分析
2022-07-20 18:36来源: 老黄文体是一家
原标题：变动的抛物线在变动区间上的最值问题，2022广州中考数学真题分析
中考数学的抛物线问题是必考的题型，但2022年广州中考数学的这道抛物线问题，设计得还是比较有新意的。让老黄开了眼界，它要求的是一条变动抛物线在一个变动区间上的最高点坐标。
已知直线l：y=kx+b经过点(0,7)和点(1,6).
(1)求直线l的解析式；
(2)若点P(m,n)在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点(0,-3),且开口向下.
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q’也在G上时，求G在4m/5≤x≤4m/5+1的图像的最高点的坐标.
分析：(1)送分的第一小题，结果记得要检查一下，确保无误，否则下面的问题就白瞎了。
(2)①利用抛物线G的解析式，得到a关于m的表达式(这个表达式最后一个问题还要用到)，利用开口向下，a<0，解关于m的不等式，就可以得到答案。
②先列G和l的交点方程，用韦达定理得到Q点的横坐标q关于m的表达式，其中要代入a关于m的表达式，运算量稍大，
然后列G和QQ'的交点方程，再次运用韦达定理，以及Q, Q'的横坐标的关系，得到q关于m的另一个表达式。
这样就可以得到m的方程，求得m，
解：(1)将(1,6)代入y=kx+7，得k+7=6, 解得：k=-1,
∴直线l的解析式为：y=-x+7.
(2)①n=-m+7,
可设G的表达式为：y=a(x-m)^2+n=a(x-m)^2-m+7=ax^2-2amx+am^2-m+7,【写了三个形式，主要是感觉下面会用到】
代入(0,-3)得：am^2+n=-3,
∴am^2-m+7=-3, a=(m-10)/m^2<0, 解得：m<10.
②当ax^2-2amx+am^2-m+7=-x+7, 即ax^2-(2am-1)x+am^2-m=0时,
记Q(q,-q+7), Q’(q-1, -q+7)，则q=(am^2-m)/(am)=(am-1)/a=10m/(10-m),【运用了两根积的韦达定理】
当a(x-m)^2-m+7=-q+7, 即ax^2-2amx+am^2-m+q=0时,
2q+1=2m, q=(2m-1)/2,【运用了两根和的韦达定理】
10m/(10-m)=(2m-1)/2, 解得：m=2或m=-5/2,
当m=2时，a=-2, y=-2(x-2)^2+5在8/5≤x≤13/5的最高点坐标为(2,5);【对称轴在区间上】
当m=-5/2时，a=-2, y=-2(x+5/2)^2+19/2在-2≤x≤-1的最高点坐标为(-2,9).【对称轴在区间左侧】
综上所述，最高点的坐标为(2,5)或(-2,9).
下面是两种情形对应的图像，只是用来帮助理解的。
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